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卢瑟福原子模型

一、背景知识

目录结构

  • 电子的发现
  • 电子的电荷与质量
  • 阿伏伽德罗常量

电子的发现

在1833年的时候,法拉第提出了一个电解定律。

$$ 1mol的任何原子的单价粒子的的电荷量相同,而这个电荷量为 F(法拉第常量,单位 C/mol) $$

而这个值F,在当时是可以测出来的,而这个测量工作是由法拉第来做的。
$$ F \approx 9.648 * 10^4 $$

而在这之前,阿伏伽德罗提出
$$ 1mol的任何原子的数量都为 N_A $$

由此,这就联想到,既然1mol的任何原子的数量为一常数,而这这个数量的电荷量为F,那么应该有一个最小值,设这个值为e,那么应该有
$$ e = \frac{F}{N_A} \qquad(1-1) $$
而这种猜测,是由斯通尼指出的,他还为这个最小值命名为 “电子”,他表示电荷的最小值。
当然,以上都只是猜测,需要实验的支持,而这个实验,由当时担任卡文迪许实验室主任的汤姆逊完成。

J.J.Thomson

汤姆逊的实验原理其实很简单,但是要完成这个实验的设备要求在当时是比较困难的,当时很多物理学家都在用阴极射线管,在阴极射线管两端通上高压(万伏的数量级)

图(1-1)
(图1-2)

Q:为什么叫阴极射线管?
A:因为是从阴极发射出来的射线。

当时很多人都在猜测阴极射线是否带电,当时赫兹(H.R.Hertz)进行实验,如果阴极射线是带电的,那么加一个电场,那么阴极射线应该会偏转,于是他进行了实验,但是发现并未偏转,于是他得到阴极射线不带电。

后来汤姆逊将射线管抽成高真空,他进行了实验,在电场的作用下,阴极射线进行了偏转,经过定性和定量的分析,他发现阴极射线是带负电的。
他进一步研究,在电场和磁场的双重叠加下,算出了沿直线的阴极射线的速度。

当阴极射线穿过磁场和电场的双重场时,其中电场是从上至下的,而磁场是垂直纸面向里的。
当带负电的阴极射线穿过双重场时,阴极射线会收到电场力F1和磁力F2,且二力是相反的。其中
$$ F_1 = qE \qquad (1.2) $$
$$ F_2 = qvB \qquad (1.3) $$
$$ F_1 = F_2 $$
$$ v = \frac{E}{B} \qquad (1.4) $$
式子 1.4 只有阴极射线在穿过双重场时,速度是E/B才可以直线过去,若速度不满足该式子,那么就会偏转。所以1.4并不是决定阴极射线速度的式子,而是起到了一个过滤的作用。

现在,我们算出了v,在后续继续加磁场,带负电的阴极射线就会沿圆形轨迹运动,因为这受到了洛伦兹力,洛伦兹力垂直于速度方向,起到了只改变了速度方向而不改变其大小的作用。即
$$
qvB = m\frac{v^2}{r} \\
$$
$$ \frac{q}{m} = \frac{v}{Br} $$
其中,v,B,r都是可以得到的。
v已经由E/B得到。
B(或H,中间差一个系数而已)由电磁理论可以由其他方式激发磁场,然后算出磁场。
r可以直接测量。
以上就可以得到阴极射线内的粒子(质量为m)的荷质比 q/m

在此中间,汤姆逊还发现当v越大的时候,q/m就会越大,这在当时人们是惊讶的,因为q和m都是阴极射线内粒子的固有属性,都是常量,它们的比值并不应该变化。爱因斯坦提出狭义相对论(论运动物体的电动力学)后,人们才明白这是相对论效应导致的
$$ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$

在1890年,休斯脱(A.Schuster)研究过氢放电管中阴极射线的偏转,并且算出了阴极射线粒子的荷质比是氢原子荷质比的小的多,但是他不敢相信自己的测量结果。

$$ \frac{q_e}{m_e} >> \frac{q_H}{m_H} $$
当时对于这种情况有这些想法。

  • 电荷相同,但是 $m_e << m_H$,由于当时大部分人都认为原子已经是最小的粒子,且不可再分,所以当时大部人都认为是下面的情况。

  • 质量相同,但是 $q_e >> q_H$ 这是当时的主流看法。
    后来,汤姆逊勇敢的作出了 有比原子更小的微粒存在

电子的电荷和质量

在汤姆逊得出$\frac{q_e}{m_e}$的数值后,但是任然无法得出$m_e$或是$q_e$的具体数值,于是他利用一种巧妙的方法算出了$q_e$的平均值,并不精准。
真正精准测量出${q_e}$的人是美国物理学家密里根进行实验测量得出的,该实验就是油滴实验
他得出了$q_e = 1.59*10^{-19} C$,这已经很精确了。
电子的电荷现代值为(精度已经达到$\frac{1}{10^9}$):
$$
e \approx 1.062176 * 10^{-19}C
$$

由于汤姆逊已经得到 $\frac{q_e}{m_e}$ 的具体数值,再根据密里根的测量得到的 $q_e$.
即可得到 $m_e \approx 9.1093 * 10^{-31} kg$

根据前面我们知道 $\frac{q_H}{m_H}$ 的数值,$q_H = q_e$ 我们就可以得到 $\frac{m_e}{m_H}$ 的数值,这里我们用$m_p$表示$m_H$
$$
\frac{m_e}{m_p} \approx 1836.152672
$$
这里的 $\frac{m_e}{m_p}$ 是没有量纲(单位)的,因为单位相同,约掉了。

关于粒子物理中用能量表示质量。

这种表示是汤姆逊发现电子以后了,因为这种方法是从 $E = mc^2$ 得出的。
根据 $E = mc^2$,我们可以得到 $m = \frac{E}{c^2}$。
由此我们得到 $m_e$ 和 $m_p$的表示。
$m_e \approx 0.510998 \frac{Mev}{c^2}$ || $m_p \approx 938.272013 \frac{Mev}{c^2}$
其中单位中 $Mev$ 是能量 $E$ 的单位。
根据 $U = \frac{W}{Q}$ 得到 $W = QU$。
由此,一个单位的电荷在电势差为1V的电场中加速得到的能量为 $1eV$
$1eV = 1.60210^{-19} C \times 1V $
$1eV = 1.602
10^{-19} J $

阿伏伽德罗常量

在研究宏观和微观 (宏观和微观的界限还很模糊,目前凭直觉,粒子都是微观的) 的一个桥梁是阿伏伽德罗常量$N_A$。

阿伏伽德罗常量表示: 1mol分子或原子的数目

从表示中,我们可以知道 1mol的 $ ^{12}C $ 原子有 $N_A$ 个,对于每个 $^{12}C$

原子的质量,我们用$g$表示。
根据
$$ n = \frac{m}{M} $$
$$ M_{^{12}C} = 12 mol/g $$
$$当 n=1mol 时$$
$$m = n \times M_{^{12}C}$$
$$m = 12g $$

所以 $1mol的^{12}C的质量为12g$,又因为1mol的 $^{12}C$ 原子数为 $N_A$。
可以得到每个$^{12}C$原子的质量
$$
\frac{12 g}{N_A} \qquad (1-5)
$$
现在我们定义式子(1-5)$12u$

$$1u = \frac{1g}{N_A}$$
$$1g = N_A u $$

再看我们在开头说的式子 (1-1),变形为
$$
F = eN_A
$$

$g$是宏观的质量单位,$u$是微观的质量单位,他们通过$N_A$连接在一起。$1u = \frac{1g}{N_A}$
$F$是宏观的电荷量,$e$是微观的电荷量,他们通过$N_A$联系在一起。$e = \frac{F}{N_A}$
一个是单位的连接,一个是常量的连接。

原子的大小

为了研究原子到底有多大,我们要做一个简单的估算。
假设有一种原子$^{A}X$($A$为质量数,即$M = A$) 它在$A$克时$X$含有$N_A$个原子(其实就是用$1mol$的$^{A}X$,可能用$g$在物理上比较直观)。

因为
$$n = \frac{m}{M}$$
$$ (M=1 \quad and \quad m =1) \Rightarrow n =1mol$$
$$1mol \Rightarrow 1N_A $$

现在假设这种$^{A}X$原子的质量密度为$ρ$
那么根据
$$ ρ = \frac{m}{V} $$
$$ (m = A) \Rightarrow V = \frac{A}{ρ} $$
根据经典物理,原子是一个规则的小球体,则可以得到
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$
现在有$N_A$个原子,得到
$$ V = \frac{4}{3}\pi r^3 N_A $$
$$ \frac{4}{3}\pi r^3 N_A = \frac{A}{ρ}$$
$$r^3 = \frac{3A}{4\pi N_Aρ}$$
$$ r = \sqrt[3]{\frac{3A}{4\pi N_A ρ}} $$

由此只有有 质量密度ρ、质量数A,即可得到原子的半径。

元素 质量数A 质量密度ρ/(g/cm^3) 原子半径r/nm
Li 7 0.7 0.16
Al 27 2.7 0.16
Cu 63 8.9 0.14
S 32 2.07 0.18
Pb 207 11.34 0.19
在此表中,**不同原子的半径几乎相同,这是经典物理无法解释的**

小结

到此,我们从汤姆逊经过理论推测和实验得到 $\frac{q_e}{m_e}$,经过实验得到具体数值,然后和氢离子和 $\frac{q_H}{m_H}$ 进行对比,大胆的提出 “有比原子更小粒子”,经过汤姆逊自己的实验测量和密里根的油滴实验测量,得到了$q_e和m_e$ 的具体数值,发现电子带负电,但是原子是中性的,所以应该还有带正电的部分,并且带正电的部分的质量占了绝大部分。

我们又阐述了电子的$q_e$和$m_e$的数值,并且介绍了相对论效应对于电子的影响,以及如今用能量表示粒子的质量,其原因是 $E = mc^2$ 得来的,而其中的能量 $E$ 的单位也变为了$eV$,其含义是1一个单位电荷的带电粒子在经过电势差为1V的电场加速后的
所得的能量。

我们还阐述了为什么阿伏伽德罗常数 $N_A$ 是连接微观与宏观的桥梁,具体表现为 $1u = \frac{1g}{N_A}$ 和 $ e = \frac{F}{N_A} $

我们还介绍了原子的体积问题,用A克的$^{A}X$ 原子和已知的质量密度ρ 估算了原子的半径,然后经过统计发现,不同的原子的半径几乎是相同的,这无法用经典物理来解释。

二、卢瑟福模型的提出

缓慢更新

三、卢瑟福散射公式

目录结构

  • 库伦散射公式的推导
  • 卢瑟福散射公式的推导

四、卢瑟福散射公式的验证

目录结构

  • 盖革 - 马斯特实验
  • 原子核大小的估计
  • 关于小角处的卢瑟福公式

五、行星模型的意义及其困难

文章作者: XeanYu
文章链接: http://www.xeanyu.club/2020/04/12/%E5%8D%A2%E7%91%9F%E7%A6%8F%E5%8E%9F%E5%AD%90%E6%A8%A1%E5%9E%8B/
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