卢瑟福原子模型

一、背景知识

目录结构

电子的发现
电子的电荷与质量
阿伏伽德罗常量

电子的发现

在1833年的时候，法拉第提出了一个电解定律。

$$ 1mol的任何原子的单价粒子的的电荷量相同，而这个电荷量为 F(法拉第常量，单位 C/mol) $$

而这个值F，在当时是可以测出来的，而这个测量工作是由法拉第来做的。
$$ F \approx 9.648 * 10^4 $$

而在这之前，阿伏伽德罗提出
$$ 1mol的任何原子的数量都为 N_A $$

由此，这就联想到，既然1mol的任何原子的数量为一常数，而这这个数量的电荷量为F，那么应该有一个最小值，设这个值为e，那么应该有
$$ e = \frac{F}{N_A} \qquad(1-1) $$
而这种猜测，是由斯通尼指出的，他还为这个最小值命名为 “电子”，他表示电荷的最小值。
当然，以上都只是猜测，需要实验的支持，而这个实验，由当时担任卡文迪许实验室主任的汤姆逊完成。

汤姆逊的实验原理其实很简单，但是要完成这个实验的设备要求在当时是比较困难的，当时很多物理学家都在用阴极射线管，在阴极射线管两端通上高压(万伏的数量级)

图(1-1)

(图1-2)

Q：为什么叫阴极射线管？
A：因为是从阴极发射出来的射线。

当时很多人都在猜测阴极射线是否带电，当时赫兹(H.R.Hertz)进行实验，如果阴极射线是带电的，那么加一个电场，那么阴极射线应该会偏转，于是他进行了实验，但是发现并未偏转，于是他得到阴极射线不带电。

后来汤姆逊将射线管抽成高真空，他进行了实验，在电场的作用下，阴极射线进行了偏转，经过定性和定量的分析，他发现阴极射线是带负电的。
他进一步研究，在电场和磁场的双重叠加下，算出了沿直线的阴极射线的速度。

当阴极射线穿过磁场和电场的双重场时，其中电场是从上至下的，而磁场是垂直纸面向里的。
当带负电的阴极射线穿过双重场时，阴极射线会收到电场力F1和磁力F2，且二力是相反的。其中
$$ F_1 = qE \qquad (1.2) $$
$$ F_2 = qvB \qquad (1.3) $$
$$ F_1 = F_2 $$
$$ v = \frac{E}{B} \qquad (1.4) $$
式子 1.4 只有阴极射线在穿过双重场时，速度是E/B才可以直线过去，若速度不满足该式子，那么就会偏转。所以1.4并不是决定阴极射线速度的式子，而是起到了一个过滤的作用。

现在，我们算出了v，在后续继续加磁场，带负电的阴极射线就会沿圆形轨迹运动，因为这受到了洛伦兹力,洛伦兹力垂直于速度方向，起到了只改变了速度方向而不改变其大小的作用。即
$$
qvB = m\frac{v^2}{r} \\
$$
$$ \frac{q}{m} = \frac{v}{Br} $$
其中，v，B，r都是可以得到的。
v已经由E/B得到。
B(或H，中间差一个系数而已)由电磁理论可以由其他方式激发磁场，然后算出磁场。
r可以直接测量。
以上就可以得到阴极射线内的粒子(质量为m)的荷质比 q/m。

在此中间，汤姆逊还发现当v越大的时候，q/m就会越大，这在当时人们是惊讶的，因为q和m都是阴极射线内粒子的固有属性，都是常量，它们的比值并不应该变化。爱因斯坦提出狭义相对论(论运动物体的电动力学)后，人们才明白这是相对论效应导致的
$$ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$

在1890年，休斯脱(A.Schuster)研究过氢放电管中阴极射线的偏转，并且算出了阴极射线粒子的荷质比是氢原子荷质比的小的多，但是他不敢相信自己的测量结果。

$$ \frac{q_e}{m_e} >> \frac{q_H}{m_H} $$
当时对于这种情况有这些想法。

电荷相同，但是 $m_e << m_H$，由于当时大部分人都认为原子已经是最小的粒子，且不可再分，所以当时大部人都认为是下面的情况。
质量相同，但是 $q_e >> q_H$ 这是当时的主流看法。
后来，汤姆逊勇敢的作出了 有比原子更小的微粒存在。

电子的电荷和质量

在汤姆逊得出$\frac{q_e}{m_e}$的数值后，但是任然无法得出$m_e$或是$q_e$的具体数值，于是他利用一种巧妙的方法算出了$q_e$的平均值，并不精准。
真正精准测量出${q_e}$的人是美国物理学家密里根进行实验测量得出的，该实验就是油滴实验。
他得出了$q_e = 1.59*10^{-19} C$,这已经很精确了。
电子的电荷现代值为(精度已经达到$\frac{1}{10^9}$)：
$$
e \approx 1.062176 * 10^{-19}C
$$

由于汤姆逊已经得到 $\frac{q_e}{m_e}$ 的具体数值，再根据密里根的测量得到的 $q_e$.
即可得到 $m_e \approx 9.1093 * 10^{-31} kg$

根据前面我们知道 $\frac{q_H}{m_H}$ 的数值，$q_H = q_e$ 我们就可以得到 $\frac{m_e}{m_H}$ 的数值,这里我们用$m_p$表示$m_H$
$$
\frac{m_e}{m_p} \approx 1836.152672
$$
这里的 $\frac{m_e}{m_p}$ 是没有量纲(单位)的，因为单位相同，约掉了。

关于粒子物理中用能量表示质量。

这种表示是汤姆逊发现电子以后了，因为这种方法是从 $E = mc^2$ 得出的。
根据 $E = mc^2$，我们可以得到 $m = \frac{E}{c^2}$。
由此我们得到 $m_e$ 和 $m_p$的表示。
$m_e \approx 0.510998 \frac{Mev}{c^2}$ || $m_p \approx 938.272013 \frac{Mev}{c^2}$
其中单位中 $Mev$ 是能量 $E$ 的单位。
根据 $U = \frac{W}{Q}$ 得到 $W = QU$。
由此，一个单位的电荷在电势差为1V的电场中加速得到的能量为 $1eV$
$1eV = 1.60210^{-19} C \times 1V $
$1eV = 1.60210^{-19} J $

阿伏伽德罗常量

在研究宏观和微观 (宏观和微观的界限还很模糊,目前凭直觉，粒子都是微观的) 的一个桥梁是阿伏伽德罗常量$N_A$。

阿伏伽德罗常量表示： 1mol分子或原子的数目

从表示中，我们可以知道 1mol的 $ ^{12}C $ 原子有 $N_A$ 个，对于每个 $^{12}C$

原子的质量，我们用$g$表示。
根据
$$ n = \frac{m}{M} $$
$$ M_{^{12}C} = 12 mol/g $$
$$当 n=1mol 时$$
$$m = n \times M_{^{12}C}$$
$$m = 12g $$

所以 $1mol的^{12}C的质量为12g$,又因为1mol的 $^{12}C$ 原子数为 $N_A$。
可以得到每个$^{12}C$原子的质量为
$$
\frac{12 g}{N_A} \qquad (1-5)
$$
现在我们定义式子(1-5) 为 $12u$
即
$$1u = \frac{1g}{N_A}$$
$$1g = N_A u $$

再看我们在开头说的式子 (1-1)，变形为
$$
F = eN_A
$$

$g$是宏观的质量单位，$u$是微观的质量单位，他们通过$N_A$连接在一起。$1u = \frac{1g}{N_A}$
$F$是宏观的电荷量，$e$是微观的电荷量，他们通过$N_A$联系在一起。$e = \frac{F}{N_A}$
一个是单位的连接，一个是常量的连接。

原子的大小

为了研究原子到底有多大，我们要做一个简单的估算。
假设有一种原子$^{A}X$($A$为质量数，即$M = A$) 它在$A$克时$X$含有$N_A$个原子(其实就是用$1mol$的$^{A}X$，可能用$g$在物理上比较直观)。

因为
$$n = \frac{m}{M}$$
$$ (M=1 \quad and \quad m =1) \Rightarrow n =1mol$$
$$1mol \Rightarrow 1N_A $$

现在假设这种$^{A}X$原子的质量密度为$ρ$
那么根据
$$ ρ = \frac{m}{V} $$
$$ (m = A) \Rightarrow V = \frac{A}{ρ} $$
根据经典物理，原子是一个规则的小球体，则可以得到
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$
现在有$N_A$个原子，得到
$$ V = \frac{4}{3}\pi r^3 N_A $$
$$ \frac{4}{3}\pi r^3 N_A = \frac{A}{ρ}$$
$$r^3 = \frac{3A}{4\pi N_Aρ}$$
$$ r = \sqrt[3]{\frac{3A}{4\pi N_A ρ}} $$

由此只有有质量密度ρ、质量数A，即可得到原子的半径。

元素	质量数A	质量密度ρ/(g/cm^3)	原子半径r/nm
Li	7	0.7	0.16
Al	27	2.7	0.16
Cu	63	8.9	0.14
S	32	2.07	0.18
Pb	207	11.34	0.19

在此表中，**不同原子的半径几乎相同，这是经典物理无法解释的**

小结

到此，我们从汤姆逊经过理论推测和实验得到 $\frac{q_e}{m_e}$,经过实验得到具体数值，然后和氢离子和 $\frac{q_H}{m_H}$ 进行对比，大胆的提出 “有比原子更小粒子”,经过汤姆逊自己的实验测量和密里根的油滴实验测量，得到了$q_e和m_e$ 的具体数值，发现电子带负电，但是原子是中性的，所以应该还有带正电的部分，并且带正电的部分的质量占了绝大部分。

我们又阐述了电子的$q_e$和$m_e$的数值，并且介绍了相对论效应对于电子的影响，以及如今用能量表示粒子的质量，其原因是 $E = mc^2$ 得来的，而其中的能量 $E$ 的单位也变为了$eV$,其含义是1一个单位电荷的带电粒子在经过电势差为1V的电场加速后的
所得的能量。

我们还阐述了为什么阿伏伽德罗常数 $N_A$ 是连接微观与宏观的桥梁，具体表现为 $1u = \frac{1g}{N_A}$ 和 $ e = \frac{F}{N_A} $

我们还介绍了原子的体积问题，用A克的$^{A}X$ 原子和已知的质量密度ρ 估算了原子的半径，然后经过统计发现，不同的原子的半径几乎是相同的，这无法用经典物理来解释。